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量子计算入门(小学期课程)

Lecture 1: Introduction

Double-slit experiment(双缝实验)

电子的双缝实验,不观测时呈现波的特征,观测时呈现粒子的特征(观测影响了实验结果)

Heisenberg’s Uncertainty Principle(不确定性原理)

impossible to design apparatus that detects which slit without disturbing interference pattern.
不可能设计出在不干扰干涉图案的情况下检测(通过)哪个狭缝的设备。

Lecture 2: Qubits & Uncertainty Principle

Using an electron to represent a bit(用电子表示一个bit)

基态(ground state)表示 0 态
激发态(excited state)表示 1 态

Qubit (quantum bit) (量子比特)

(单Qubit)表达式: $a\ket{0}+b\ket{1}$
条件: $|a|^2+|b|^2=1$
意义:处于 0 态的概率为 $|a|^2$ ,处于 1 态的概率为 $|b|^2$

Geometric Representation(几何表示)

几何解释:单位圆上的向量(单位向量)
测量:做投影(内积)可以得到概率(仅依赖夹角)

Uncertainty Principle(不确定性原理)

经典微粒

One can never know with perfect accuracy both of those two important factors which determine the movement of one of the smallest particles - its position and its velocity. - Werner Heisenberg
微粒的速度和位置不可能同时精确得知。

量子比特

令 $\ket{\phi}=a_0\ket{0}+a_1\ket{1}=b_0\ket{+}+b_1\ket{-}$ ,
定义 $S(\ket{\phi})=|a_0|+|a_1|$ 和 $S’(\ket{\phi})=|b_0|+|b_1|$ ,
那么有 $S(\ket{\phi})\cdot S’(\ket{\phi})\geq\sqrt{2}$ 。

Lecture 3: Axioms of QM, two Qubits, Entanglement

K-level systems, bra-ket notation(K 级系统,bra-ket 符号)

利用原子中电子的多层能级表示多维系统

基本定义

(单Qubit)表达式: $a_0\ket{0}+a_1\ket{1}+\dots+a_{k-1}\ket{k-1}$
条件: $|a_0|^2+|a_1|^2+\dots+|a_{k-1}|^2=1$
意义:处于 i 态的概率为 $|a_i|^2$

测量

令 $\ket{\psi}=a_0\ket{0}+a_1\ket{1}+\dots+a_{k-1}\ket{k-1}$ 且 $\ket{\phi}=b_0\ket{0}+b_1\ket{1}+\dots+b_{k-1}\ket{k-1}$ ,
则 $\ket{\psi}$ 在包含 $\ket{\phi}$ 的一组基底下测量,处于 $\ket{\phi}$ 态的概率是 $|\braket{\psi|\phi}|^2=|\overline{a_0}b_0+\overline{a_1}b_1+\dots+\overline{a_{k-1}}b_{k-1}|^2$ (向量表示的 Hilbert 空间下的内积,注意取共轭)

Two Qubits

基本定义

(双Qubits)表达式: $a_{00}\ket{00}+a_{01}\ket{01}+a_{10}\ket{10}+a_{11}\ket{11}$
条件: $|a_{00}|^2+|a_{01}|^2+|a_{10}|^2+|a_{11}|^2=1$
意义:处于 ij 态的概率为 $|a_{ij}|^2$

测量

只能分别依次对两个Qubit进行测量,测量第一个之后,纠缠态就会坍缩,对第二个的测量结果会有影响

Entanglement(纠缠)

Composite system(复合系统)

任意的 $a_{00}\ket{00}+a_{01}\ket{01}+a_{10}\ket{10}+a_{11}\ket{11}$ 不一定能表示成 $(a_{0}\ket{0}+a_{1}\ket{1})(b_{0}\ket{0}+b_{1}\ket{1})$ 的形式

Bell state(贝尔态)

$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{00}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{11}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{++}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{—}$
测量一次之后便会坍缩,测量其中一个为 $\ket{\phi}$ ,则另一个也为 $\ket{\phi}$ ,贝尔态坍缩成 $\ket{\phi\phi}$

Lecture 4: Bell Inequalities

EPR and Bell

传统认知

定域性原理(局域性原理):认为一个特定物体,只能被它周围的力量影响
客观实在性:是指物质,或客观世界,不依赖于人类感知,独立于人类认识的存在和性质(不会因为观测而受影响)

EPR Paradox(EPR悖论)1935

同时对第一个在01基底下测量和对第二个在+-基底下测量,那么信息传播需要时间,因此最终状态会产生矛盾(在两个基底上总的不确定度为1,不满足不确定性原理)

Bell 1965

测量一个物理量 E ,分别在 local realism 和 quantum mechanics 下有不同的结果,那么可以说明 local realism 是错的。
local realism: $E\leq0.75$
quantum mechanics: $E=cos^2\frac{\pi}{8}\approx0.85$

Rotational invariance of Bell state(贝尔态的旋转不变性)